问题 填空题
已知定义在[1,+∞)上的函数f(x)=
4-8|x-
3
2
|,1≤x≤2
1
2
f(
x
2
),x>2
,给出下列结论:
①函数f(x)的值域为[0,4];
②关于x的方程f(x)=
1
2
有6个不相等的实根;
③当x∈[1,2]时,函数f(x)的图象与x轴围成的图形的面积为S,则S=2;
④存在x0∈[1,8],使得不等式x0f(x0)>6成立.
其中你认为正确的所有结论的序号为______.
答案

1≤x≤

3
2
时,f(x)=4+8(x-
3
2
)
=8x-8;当
3
2
<x≤2
时,f(x)=4-8(x-
3
2
)
=-8x+16.

当2<x≤3时,1<

x
2
3
2
,f(x)=
1
2
f(
x
2
)
=
1
2
(8×
x
2
-8)
=2x-4;

当3<x≤4时,

3
2
x
2
≤2,f(x)=
1
2
(-8×
x
2
+16)
=-2x+8.

当4<x≤6时,2<

x
2
≤3,f(x)=
1
2
(2×
x
2
-4)
=
1
2
x-2

当6<x≤8时,3<

x
2
≤4,f(x)=
1
2
(-2×
x
2
+8)
=-
1
2
x+4
.….

画出函数f(x)的图象:

由图象可知:

①函数f(x)的值域为[0,4],正确;

②关于x的方程f(x)=

1
2
有7个不相等的实根,因此②不正确;

③当x∈[1,2]时,函数f(x)的图象与x轴围成的图形的面积为S,则S=

1
2
×1×4=2,正确;

④画出函数y=

6
x
(x>0)的图象,可知与函数y=f(x)有交点,

如x=

3
2
,3,6等,因此不存在x0∈[1,8],使得不等式f(x0)>
6
x0
即x0f(x0)>6成立,因此正确.

综上可知:①③④正确.

故答案为:①③④.

单项选择题
多项选择题