问题
解答题
已知函数f（x）=
（1）若f(a)•(e-1)=
（2）t＞1，是否存在a∈[1，t]使得f(a)•(t-1)=
（3）结合定积分的几何意义说明（2）的几何意义． |
答案
（1）∵f(a)•(e-1)=
f(x)dx，∴∫ e1
•(e-1)=1 a ∫ e1
dx=lnx1 x
=，1∴a=e-1…（3分）| e1
（2）
f(x)dx=∫ t1 ∫ t1
dx=lnx1 x
=lnt| t1
设
•(t-1)=lnt，∴a=1 a
…（5分）t-1 lnt
下面证明a∈[1，t]：a-1=
-1=t-1 lnt t-1-lnt lnt
设g（t）=t-1-lnt（t＞1）则g′(t)=1-
=1 t
＞0(∵t＞1)t-1 t
∴g（t）在（1，+∞）上为增函数，当t＞1时，g（t）＞g（1）=0
又∵t＞1时lnt＞0，∴a-1＞0即a＞1…（8分）
a-t=
-t=t-1 lnt t-1-tlnt lnt
设h（t）=t-1-tlnt（t＞1）则h′(t)=1-(1•lnt+t•
)=-lnt＜0(∵t＞1)1 t
∴h（t）在（1，+∞）上为减函数，当t＞1时h（t）＜h（1）=0
又∵t＞1时lnt＞0，∴a-t＜0即a＜t，∴a∈[1，t]
综上：当t＞1时，存在a∈[1，t]使得f(a)•(t-1)=
f(x)dx成立．…（11分）∫ t1
（3）连续函数f（x）在闭区间[a，b]上的定积分等于该区间上某个点x0的函数值f（x0）与该区间长度的积，即
f(x)dx=f(x0)•(b-a)其中x0∈[a，b]…（14分）∫ ba