四位同学在研究函数f（x）=x1+|x|（x∈R）时，分别给出下面四个

问题填空题

四位同学在研究函数f（x）=

1+|x|

（x∈R）时，分别给出下面四个结论：
①函数f（x）的值域为（-1，1）；
②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
③f（x）是连续且递增的函数，但f（0）不存在；
④若规定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，则f_n（x）=

1+n|x|

对任意n∈N^*恒成立，
上述四个结论中正确的是______．

答案

①当x＞0时，f(x)=

1+x

1+x-1

1+x

=1-

1+x

，此时函数为增函数，所以0＜1-

1+x

＜1，即0＜y＜1．

当x＜0时，f(x)=

1-x

(x-1)+1

1-x

=-1+

1-x

=-1-

x-1

，此时函数为增函数，所以-1＜-1+

1-x

＜0，即-1＜y＜0．

当x=0时，f（x）=0．

综上-1＜f（x）＜1，即函数f（x）的值域为（-1，1）．所以①正确．

②由①知函数f（x）单调递增，所以当x₁≠x₂时，则一定有f（x₁）≠f（x₂），所以②正确．

③当x=0时，f（0）=0，所以③错误．

④f₁（x）=f（x）=

1+|x|

，f₂（x）=f[f₁（x）]=

1+2|x|

，同理可求，f₃（x）=

1+3|x|

，由归纳推理可得f_n（x）=

1+n|x|

对任意n∈N^*恒成立，

所以④正确．

故答案为：①②④．