问题
选择题
| 对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义f″（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有的同学发现“任何三次函数都有‘拐点’；任何三次函数都有对称中心；且对称中心就是‘拐点’”．请你根据这一发现判断下列命题： （1）任意三次函数都关于点(-
（2）存在三次函数，f'（x）=0有实数解x0，（x0，f（x0））点为函数y=f（x）的对称中心； （3）存在三次函数有两个及两个以上的对称中心； （4）若函数g(x)=
其中正确命题的序号为（ ）
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答案
（1）由题意，f′（x）=3ax2+2bx+c（a≠0），∴f″（x）=6ax+2b（a≠0），
∴令f″（x）=0，可得x=-
，∴任意三次函数都关于点(-b 3a
，f(-b 3a
))对称，故（1）正确；b 3a
（2）由（1）知，x0=-
，代入f'（x）=0，可得3a×b 3a
-2b×b2 9a2
+c=0，∴b2=3ac，此时，存在三次函数，f'（x）=0有实数解x0，（x0，f（x0））点为函数y=f（x）的对称中心，故（2）正确；b 3a
（3）由（1）知，三次函数有且只有一个对称中心，即不存在三次函数有两个及两个以上的对称中心，故（3）不正确；
（4）∵g(x)=
x3-1 3
x2-1 2
，∴g′（x）=x2-x5 12
∴g″（x）=2x-1
令g″（x）=0，可得x=
，∴g（1）=-1 2 1 2
∴g(x)=
x3-1 3
x2-1 2
的对称中心为(5 12
，-1 2
)1 2
∴g（x）+g（1-x）=-1
∴g(
)+g(1 2013
)+g(2 2013
)+…+g(3 2013
)=-1006，即（4）正确，2012 2013
故选A．