问题 解答题

设函数f(x)=tx2+2t2x+t﹣1(x∈R,t>0).

(I)求f (x)的最小值h(t);

(II)若h(t)<﹣2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.

答案

解:(I)∵f(x)=t(x+t)2﹣t3+t﹣1(x∈R,t>0),

∴当x=-t时,f(x)取最小值f(-t)=-t2+t﹣1,

即h(t)=-t3+t﹣1;

(II)令g(t)=h(t)﹣(﹣2t+m)=﹣t3+3t﹣1﹣m, 由g'(t)=﹣3t2+3=0得t=1,t=﹣1(不合题意,舍去) 当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表:

∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)=1﹣mh(t)<﹣2t+m在(0,2)内恒成立等价于

g(t)<0在(0,2)内恒成立,即等价于1﹣m<0所以m的取值范围为m>1.

单项选择题
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