（I）∵P=（-∞，0），∴f（P）={y|y=|x|，x∈（-∞，0）}=（0，+∞），

∵M=[0，4]，∴f（M）={y|y=-x²+2x，x∈[0，4]}=[-8，1]．

∴f（P）∪f（M）=[-8，+∞）

（II）若-3∈M，则f（-3）=-15∉[-3，2a-3]，不符合要求

∴-3∈P，从而f（-3）=3

∵f（-3）=3∈[-3，2a-3]

∴2a-3≥3，得a≥3

若a＞3，则2a-3＞3＞-（x-1）²+1=-x²+2x

∵P∩M=∅，∴2a-3的原象x₀∈P且3＜x₀≤a

∴x₀=2a-3≤a，得a≤3，与前提矛盾

∴a=3

此时可取P=[-3，-1）∪[0，3]，M=[-1，0），满足题意

（III）∵f（x）是单调递增函数，∴对任意x＜0，有f（x）＜f（0）=0，∴x∈M

∴（-∞，0）⊆M，同理可证：（1，+∞）⊆P

若存在0＜x₀＜1，使得x₀∈M，则1＞f（x₀）=-x02+2x₀＞x₀，

于是[x₀，-x02+2x₀]⊆M

记x₁=-x02+2x₀∈（0，1），x₂=-x12+2x₁，…

∴[x₀，x₁]∈M，同理可知[x₁，x₂]∈M，…

由x_n+1=-xn2+2x_n，得1-x_n+1=1+xn2-2x_n=（1-xn ）²；

∴1-x_n=（1-xn-1 ）²=（1-x_n-2）2²=…=（1-x₀）2ⁿ

对于任意x∈[x₀，1]，取[log₂log_（1-x₀）（1-x）-1，log₂log_（1-x₀）（1-x）]中的自然数n_x，则

x∈[xn_x，xn_x+1]⊆M

∴[x₀，1）⊆M

综上所述，满足要求的P，M必有如下表示：

P=（0，t）∪[1，+∞），M=（-∞，0]∪[t，1），其中0＜t＜1

或者P=（0，t]∪[1，+∞），M=（-∞，0]∪（t，1），其中0＜t＜1

或者P=[1，+∞），M=（-∞，1]

或者P=（0，+∞），M=（-∞，0]