问题
解答题
已知函数f（x）=xlnx，
(Ⅰ)求f(x)的最小值；
(Ⅱ)讨论关于x的方程f(x)-m=0(m∈R)的解的个数；
(Ⅲ)当a＞0，b＞0时，求证：f(a)+f(b)≥f(a+b)-(a+b)ln2。
答案
解：(Ⅰ)f(x)的定义域为（0，+∞），
，
令f′(x)=0，得
，
当x∈（0，+∞）时，f′(x)，f(x)变化的情况如下：
所以，f(x)在（0，+∞）的最小值是
。
(Ⅱ)当
时，f(x)单调递减且f(x)的取值范围是
；
当
时，f(x)单调递增且f(x)的取值范围是
，
下面讨论f(x)-m=0的解：
所以，当
时，原方程无解；
当
或m≥0时，原方程有唯一解；
当
时，原方程有两解。
(Ⅲ)原不等式可化为：
，
设函数
，
则
，
，
令
，则
，∴
，
∴
，解得：
，
令
，解得：
，
所以，函数g（x）在
上单调递减，在
上单调递增，
∴g（x）在（0，k）上的最小值为
，
∴当x∈（0，k）时，总有
，
即
，
令x=a，k-x=b，则有
。