设∠AOB=θ，∵

a

•

b

=2，|

a

-

b

|=2，∴|

a

|2+|

b

|2-2

a

•

b

=4，即 |

a

|2+|

b

|2=8…（8分）

又∵

a

•

b

=2，∴|

a

||

b

|cosθ=2，cosθ=

2

| a || b |

…（6分）

∴S△AOB=

1

2

|

a

||

b

|sinθ=

1

2

|

a

||

b

|

1-( 2 | a || b | )2

=

1

2

| a |2| b |2(1- 4 | a |2| b |2 )

=

1

2

| a |2| b |2-4

=

1

2

| a |2(8-| a |2)-4

=

1

2

-| a |4+8| a |2-4

 

=

1

2

-(| a |2-4)2+12

  …（10分）

∴当|

a

|2=4时，S_△AOB最大．此时|

b

|2=4，cosθ=

2

2×2

=

1

2

，

即有 θ=

π

3

…（12分）

因此，△AOB面积最大时，

a

与

b

的夹角为

π

3

…（13分）