问题
解答题
已知函数f(x)=axlnx图像上点（e，f(e)）处的切线方程与直线y=2x平行（其中e=2.71828…），
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）求函数f(x)在[n，n+2]（n＞0）上的最小值；
（Ⅲ）对一切x∈(0，e]，3 f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围。
答案
解：（Ⅰ）由点
处的切线方程与直线2x-y=0平行，
得该切线斜率为2，即
，
又
，令
，
所以，
。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
显然
时，
，
当
时，
，所以函数
在
上单调递减；
当
时，
，所以函数
在
上单调递增，
①
时，
；
②
时，函数
在[n，n+2]上单调递增，
因此
，
所以
。
（Ⅲ）对一切
恒成立，
又
，
∴
，即
，
设
，
则
，
由
，得x=1或x=2，
∴
单调递增，
单调递减，
单调递增，
∴
，且
，
所以，
，
因为对一切
恒成立，
∴
，
故实数t的取值范围为
。
