问题
解答题
设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜
（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f （x）＜x1； （2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜
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答案
证明：（Ⅰ）令F（x）=f（x）-x．因为x1，x2是方程f（x）-x=0的根，所以
F（x）=a（x-x1）（x-x2）．
当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，得（x-x1）（x-x2）＞0，又a＞0，得
F（x）=a（x-x1）（x-x2）＞0，
即x＜f（x）．
x1-f（x）
=x1-[x+F（x）]
=x1-x+a（x1-x）（x-x2）
=（x1-x）[1+a（x-x2）]
因为0＜x＜x1＜x2＜1 a
所以x1-x＞0，1+a（x-x2）=1+ax-ax2＞1-ax2＞0．
得x1-f（x）＞0．
由此得f（x）＜x1．
（Ⅱ）依题意知x0=-b 2a
因为x1，x2是方程f（x）-x=0的根，即x1，x2是方程ax2+（b-1）x+c=0的根．
∴x1+x2=-
，x0=-b-1 a
=b 2a
=a(x1+x2)-1 2a ax1+ax2-1 2a
因为ax2＜1，所以x0＜
=ax1 2a
．x1 2