问题
解答题
已知M是函数y=4-x2(0<x<2)图像C上一点,过M点作曲线C的切线与x轴、y轴分别交于点A、B,O是坐标原点,求△AOB面积的最小值。
答案
解:∵,
∴,
设,则过M点曲线C的切线斜率k=-2m,
∴切线方程为,
由x=0,得,
;
由y=0,得,
,其中0<m<2,
设△AOB的面积为S,则,0<m<2,
∴,
令S′=0,得,解得
,
当时,S′<0,S在区间
上为减函数;
当时,S′>0,S在区间
上为增函数;
∴当时,S取得最小值,最小值为
。