问题
解答题
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，点P（1，f（1））在函数y=f（x）的图象上，过P点的切线方程为y=3x+1．
（1）若y=f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下是否存在实数m，使得不等式f（x）≥m在区间[﹣2，1]上恒成立，若存在，试求出m的最大值，若不存在，试说明理由．
答案
解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x2+2ax+b
∵y=f（x）在x=﹣2时有极值，
∴x=﹣2是方程f′（x）=3x2+2ax+b=0的根，
∴14﹣4a+b=0①
又切线的斜率，即f′（x）在x=1时的值，
∴3+2a+b=3②
∵点P既在函数y=f（x）的图象上，又在切线y=3x+1上，
∴f（1）=4=1+a+b+c③，
由 ①②③解得a=2，b=﹣4，c=5，
故f（x）=x3+2x2﹣4x+5
（2）在（1）的条件下，f（x）=x3+2x2﹣4x+5
由f'（x）=3x2+4x﹣4=0得函数的两个极值点是
．
函数的两个极值为
函数在区间的两个端点值分别为f（﹣2）=13，f（1）=4．
比较极值与端点的函数值，知在区间[﹣2，1]上，函数f（x）的最小值为
．
不等式f（x）≥m在区间[﹣2，1]上恒成立，只需
，不等式f（x）≥m恒成立．
此时m的最大值为
．