设α、β是方程x2-2kx+k+6=0的两个实根，则（α-1）2+（β-1）2的

问题解答题

设α、β是方程x²-2kx+k+6=0的两个实根，则（α-1）²+（β-1）²的最小值是______．

答案

∵α、β是方程x²-2kx+k+6=0的两个实根，

∴判别式△=4k²-4（k+6）=4（k-3）（k+2）≥0，解得 k≥3，或 k≤-2．

且α+β=2k，αβ=k+6，

∴（α-1）²+（β-1）²=α²+β²-2（α+β ）+2=（α+β）²-2αβ-2（α+β ）+2=4k²-2（k+6）-2•2k+2=4•(k-

)2-

，

故当k=3时，（α-1）²+（β-1）²有最小值是 4•(3-

)2-

=8，

故答案为 8．