问题
解答题
已知函数f（x）=xlnx。
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）的最小值；
（III）若对所有x≥1都有f（x）≥ax-1，求实数a的取值范围。
答案
解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，
），f（x）的导数
，
令
，解得
；令
，解得
，
从而f（x）在
单调递减，在
单调递增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当
时，f（x）取得最小值
；
（Ⅲ）令
，则
，
① 若a≤1，当x≥1时，
，
故g（x）在
上为增函数，
所以，x≥1时，
，即
；
② 若a>1，方程
的根为
，
此时，若
，则
，故g（x）在该区间为减函数，
所以，
时，
，即
，与题设
相矛盾，
综上，满足条件的a的取值范围是
。