问题
解答题
已知三点A(2,1)、B(3,2)、D(-1,4).
(1)证明:AB⊥AD.
(2)若点C使得四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求该矩形对角线所夹的锐角的余弦值.
答案
(1)证明:可得
=(1,1),AB
=(-3,3),AD
•AB
=1×(-3)+1×3=0,AD
∴AB⊥AD;
(2)由(1)及四边形ABCD为矩形,得
=AB
,设C(x,y),DC
则(1,1)=(x+1,y-4),∴
,得x+1=1 y-4=1
,即C(0,5);x=0 y=5
∴
=(-2,4),AC
=(-4,2),BD
得
•AC
=8+8=16,|BD
|=2AC
,|5
|=2BD
,5
设
与AC
夹角为θ,则cosθ=BD
=16 20
>0,4 5
∴该矩形对角线所夹的锐角的余弦值
.4 5