问题 解答题

已知三点A(2,1)、B(3,2)、D(-1,4).

(1)证明:AB⊥AD.

(2)若点C使得四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求该矩形对角线所夹的锐角的余弦值.

答案

(1)证明:可得

AB
=(1,1),
AD
=(-3,3)
AB
AD
=1×(-3)+1×3=0

∴AB⊥AD;

(2)由(1)及四边形ABCD为矩形,得

AB
=
DC
,设C(x,y),

则(1,1)=(x+1,y-4),∴

x+1=1
y-4=1
,得
x=0
y=5
,即C(0,5);

AC
=(-2,4),
BD
=(-4,2),

AC
BD
=8+8=16,|
AC
|=2
5
,|
BD
|=2
5

AC
BD
夹角为θ,则cosθ=
16
20
=
4
5
>0

∴该矩形对角线所夹的锐角的余弦值

4
5

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