A是n阶反对称矩阵，对任意的x=[x1，x2，…，xn]T，计算xTAx的值． (

问题问答题

A是n阶反对称矩阵，对任意的x=[x₁，x₂，…，x_n]^T，计算x^TAx的值．
(2)设A是3阶矩阵，若对任意的x=[x₁，x₂，x₃]^T都有x^TAx=0，证明A是反对称阵．

答案

参考答案：按定义，有A^T=-A，又对任意的x，x^T是一个数，那么
x^TAx=(x^TAx)^T，
故
(x^TAx)^T=x^TA^Tx=-x^TAx，
从而有2x^TAx=0，即对任何X均有x^TAx=0．
(2)设[*]因已知对任意的x=[x₁，x₂，x₃]^T，均有x^TAx=0．故取x=[1，0，0]^T，有x^TAx=a₁₁=0．
同理，取x=[0，1，0]^T时得a₂₂=0，取x=[0，0，1]^T时得a₃₃=0．
取x=[1，1，0]^T，有x^TAx=a₁₂+a₂₁=0，知a₁₂=-a₂₁；取x=[1，0，1]^T，可得a₁₃=-a₃₁;再取x=[0，1，1]^T，又得a₂₃=-a₃₂，所以A是反对称阵．