问题 问答题

A是n阶反对称矩阵,对任意的x=[x1,x2,…,xn]T,计算xTAx的值.
(2)设A是3阶矩阵,若对任意的x=[x1,x2,x3]T都有xTAx=0,证明A是反对称阵.

答案

参考答案:按定义,有AT=-A,又对任意的x,xT是一个数,那么
xTAx=(xTAx)T

(xTAx)T=xTATx=-xTAx,
从而有2xTAx=0,即对任何X均有xTAx=0.
(2)设[*]因已知对任意的x=[x1,x2,x3]T,均有xTAx=0.故取x=[1,0,0]T,有xTAx=a11=0.
同理,取x=[0,1,0]T时得a22=0,取x=[0,0,1]T时得a33=0.
取x=[1,1,0]T,有xTAx=a12+a21=0,知a12=-a21;取x=[1,0,1]T,可得a13=-a31;再取x=[0,1,1]T,又得a23=-a32,所以A是反对称阵.

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