已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）单调递增，f

问题填空题

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）单调递增，f（-1）=0．设ϕ（x）=sin²x+mcosx-2m，集合M={m|对任意的x∈[0，

]，ϕ(x)＜0}，集合N={m|对任意的x∈[0，

]，f(ϕ(x))＜0}，则M∩N为______．（注：m取值范围构成集合．）

答案

由题意，f（x）＜0等价于x＜-1或0＜x＜1，…2分

于是f（φ（x））＜0等价于φ（x）＜-1或0＜φ（x）＜1，…2分

从而M∩N={m|∀x∈[0，

]，φ（x）＜-1}…2分

由φ（x）＜-1，问题转化为：∀x∈[0，

]sin²x+mcosx-2m＜-1恒成立．…2分

令t=cosθ，0≤t≤1，问题转化为：t²-mt+2m-2＞0，即m在t∈[0，1]上恒成立

可得m＞

2-t2

2-t

，求出

2-t2

2-t

在∈[0，1]上的最大值，2＞2-t＞1，

2-t2

2-t

-(2-t)2+4(2-t)-2

2-t

=-（2-t）-

2-t

+4=-[（2-t）+

2-t

]+4≤-2

（当t=2-

时等号成立）

∴m＞4-2

，即M∩N=（4-2

，+∞）…4分