当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：
（1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；
（2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；
（3）第n年时，兔子数量Rn用表示，狐狸数量用Fn表示；
（4）初始时刻（即第0年），兔子数量有R0=100只，狐狸数量有F0=30只．
请用所学知识解决如下问题：
（1）列出兔子与狐狸的生态模型；
（2）求出Rn、Fn关于n的关系式；
（3）讨论当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由．
（1）∵兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍
∴
(n≥1)…4’Rn=1.1Rn-1-0.15Fn-1 Fn=0.1Rn-1+0.85Fn-1
（2）设
=αn
，M=Rn Fn 1.1 0.1 -0.15 0.85
∴
=Mαn
=M(Mαn-1
)=…=Mnαn-2 α∞
又矩阵M的特征多项式f(λ)=λ-1.1 -0.1
=λ2-1.95λ+0.95=（λ-1）（λ-0.95）0.15 λ-0.85
令f（λ）=0得：λ1=1，λ2=0.95
特征值λ1=1对应的一个特征向量为
=α1 3 2
特征值λ2=0.95对应的一个特征向量为
=α2
…6’1 1
且
=α0
=70100 30
-1103 2
=701 1
-110α1 α2
∴
=Mnα0=70αn λ n1
-110α1 λ n2
=70α2
-110•0.95n3 2
=1 1 210-110•0.95n 140-110•0.95n
∴
…14’Rn=210-110•0.95n Fn=140-110•0.95n
（3）当n越来越大时，0.95n越来越接近于0，Rn，Fn分别趋向于常量210，140．即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态．…2’