问题 解答题

设a为实数,函数f(x)=ex﹣2x+2a,x∈R.

(1)求f(x)的单调区间及极值;

(2)求证:当a>ln2﹣1且x>0时,ex>x2﹣2ax+1.

答案

(1)解:∵f(x)=ex﹣2x+2a,x∈R, ∴f′(x)=ex﹣2,x∈R.

令f′(x)=0,得x=ln2.

于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

故f(x)的单调递减区间是(﹣∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞),

f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=eln2﹣2ln2+2a=2(1﹣ln2+a).

(2)证明:设g(x)=ex﹣x2+2ax﹣1,x∈R,于是g′(x)=ex﹣2x+2a,x∈R.

由(1)知当a>ln2﹣1时, g′(x)最小值为g′(ln2)=2(1﹣ln2+a)>0.

于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R内单调递增.

于是当a>ln2﹣1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).

而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0.即ex﹣x2+2ax﹣1>0,

故ex>x2﹣2ax+1.

多项选择题
单项选择题 A1/A2型题