（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．（1分）

当a=b=

1

2

时，f(x)=lnx-

1

4

x2-

1

2

x，

f′(x)=

1

x

-

1

2

x-

1

2

=

-(x+2)(x-1)

2x

．（2分）

令f′（x）=0，解得x=1．

当0＜x＜1时，f′（x）＞，此时f（x）单调递增；

当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．（3分）

所以f（x）的极大值为f(1)=-

3

4

，此即为最大值．（4分）

（Ⅱ）F(x)=lnx+

a

x

，x∈(0，3]，

所以k=F′(x0)=

x0-a

x02

≤

1

2

，在x₀∈（0，3]上恒成立，（6分）

所以a≥(-

1

2

，x02+x0)max，x₀∈（0，3]（7分）

当x₀=1时，-

1

2

 x02 +x0取得最大值

1

2

．所以a≥

1

2

．（9分）

（Ⅲ）因为方程2mf（x）=x²有唯一实数解，

所以x²-2mlnx-2mx=0有唯一实数解．

设g（x）=x²-2mlnx-2mx，则g′(x)=

2x2-2mx-2m

x

．

令g′（x）=0，得x²-mx-m=0．

因为m＞0，x＞0，

所以x1=

m- m2+4m

2

＜0（舍去），x2=

m+ m2+4m​

2

，（10分）

当x∈（0，x₂）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）单调递减，

当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）单调递增．

当x=x₂时，g′（x₂）=0g（x），g（x₂）取最小值g（x₂）．（11分）

因为g（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0．

则

g(x2)=0 g′(x2)=0

，即

x22-2mlnx2-2mx2=0 x22-mx2-m =0

所以2mlnx₂+mx₂-m=0，

因为m＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0．（12分）

设函数h（x）=2lnx+x-1，

因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．（13分）

因为h（I）=0，所以方程的解为（X₂）=1，即

m+ m2+4m

2

=1，

解得m=

1

2

（14分）