问题
解答题
已知函数f(x)=log2(ax2+2x﹣3a).
(Ⅰ)当a=﹣1时,求该函数的定义域和值域;
(Ⅱ)如果f(x)≥1在区间[2,3]上恒成立,求实数a的取值范围.
答案
解:(1)当a=﹣1时,f(x)=log2(ax2+2x﹣3a).
令﹣x2+2x+3>0,解得﹣1<x<3
所以函数f(x)的定义域为(﹣1,3).
令t=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,则0<t≤4
所以f(x)=log2t≤log24=2
因此函数f(x)的值域为(﹣∞,2]
(2)f(x)≥1在区间[2,3]上恒成立等价于ax2+2x﹣3a﹣2≥0在区间[2,3]上恒成立
由ax2+2x﹣3a﹣2≥0且x∈[2,3]时,x2﹣3>0,得
令,则h'(x)=
所以h(x)在区间[2,3]上是增函数,
所以h(x)max=h(3)=﹣
因此a的取值范围是[﹣,+∞).