问题 解答题

已知函数f(x)=log2(ax2+2x﹣3a).

(Ⅰ)当a=﹣1时,求该函数的定义域和值域;

(Ⅱ)如果f(x)≥1在区间[2,3]上恒成立,求实数a的取值范围.

答案

解:(1)当a=﹣1时,f(x)=log2(ax2+2x﹣3a).

令﹣x2+2x+3>0,解得﹣1<x<3

所以函数f(x)的定义域为(﹣1,3).

令t=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,则0<t≤4

所以f(x)=log2t≤log24=2

因此函数f(x)的值域为(﹣∞,2]

(2)f(x)≥1在区间[2,3]上恒成立等价于ax2+2x﹣3a﹣2≥0在区间[2,3]上恒成立

由ax2+2x﹣3a﹣2≥0且x∈[2,3]时,x2﹣3>0,得

,则h'(x)=

所以h(x)在区间[2,3]上是增函数,

所以h(x)max=h(3)=﹣

因此a的取值范围是[﹣,+∞).

单项选择题
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