问题 解答题

设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)﹣g(x).

(1)若x=0是F(x)的极值点,求实数a的值;

(2)若x>0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(﹣x)的图象上方,求实数a的取值范围.

答案

解:(1)F(x)=ex+sinx﹣ax,求导函数可得F′(x)=ex+cosx﹣a.

因为x=0是F(x)的极值点,

所以F′(0)=1+1﹣a=0,

∴a=2.

当a=2时,若x<0,F′(x)=ex+cosx﹣a<0;

若x>0,F′(x)=ex+cosx﹣a>0;

∴x=0是F(x)的极小值点,

∴a=2符合题意;

(2)令h(x)=F(x)﹣F(﹣x)=ex﹣e﹣x+2sinx﹣2ax,

则h′(x)=ex+e﹣x+2cosx﹣2a,S(x)=h″(x)=ex﹣e﹣x﹣2sinx.

因为S′(x)=ex+e﹣x﹣2cosx≥0,

当x>0时恒成立,所以函数S(x)在(0,+∞)上单调递增,

∴S(x)≥S(0)=0当x∈(0,+∞)时恒成立;

因此函数h′(x)在[0,+∞)上单调递增,

h′(x)≥h′(0)=4﹣2a,当x∈(0,+∞)时恒成立.

当a≤2时,h′(x)≥0,h(x)在(0,+∞)单调递增,即h(x)≥h(0)=0.

故a≤2时,F(x)>F(﹣x)恒成立.

当a>2时,h′(x)<0,

∵h′(x)在[0,+∞)上单调递增,

∴总存在x0∈(0,+∞)使得在区间[0,x0)上h′(x)<0,

∴h(x)在区间[0,x0)上递减,而h(0)=0

∴当x∈(0,x0)时,h(x)<0,这与F(x)﹣F(﹣x)≥0对x∈[0,+∞)恒成立矛盾

∴a>2不合题意

综上a的取值范围是(﹣∞,2].

单项选择题
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