问题 解答题

已知函数f(x)=(x+1)lnx﹣x+1.

(Ⅰ)若xf'(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围;

(Ⅱ)证明:(x﹣1)f(x)≥0.

答案

解:(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞)

求导函数,可得

∴xf′(x)=xlnx+1,

题设xf′(x)≤x2+ax+1等价于lnx﹣x≤a,

令g(x)=lnx﹣x,则g′(x)=

当0<x<1时,g′(x)>0;

当x≥1时,g′(x)0,

∴x=1是g(x)的最大值点,

∴g(x)≤g(1)=﹣1.

综上,a的取值范围是[﹣1,+∞).

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,g(x)≤g(1)=﹣1,即lnx﹣x+1≤0;

0<x<1时,f(x)=(x+1)lnx-x+1=xlnx+(lnx﹣x+1)≤0;

当x≥1时,f(x)=lnx+(xlnx-x+1)=lnx+x(lnx+-1)≥0

所以(x-1)f(x)≥0

单项选择题
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