解：（I）由点（e，f（e））处的切线方程与直线2x﹣y=0平行，

得该切线斜率为2，即f'（e）=2．

又∵f'（x）=a（lnx+1），

令a（lne+1）=2，a=1，

所以f（x）=xlnx．

（II）由（I）知f'（x）=lnx+1，

显然f'（x）=0时x=e﹣1

当时f'（x）＜0，所以函数上单调递减．

当时f'（x）＞0，所以函数f（x）在上单调递增，

①时，；

②时，函数f（x）在[n，n+2]上单调递增，

因此f（x）_min=f（n）=nlnnn；

所以

（III）对一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，

又g（x）=x²﹣tx﹣2，

∴3xlnx≥x²﹣tx﹣2，即．

设，

则，

由h'（x）=0得x=1或x=2，

∴x∈（0，1），h'（x）＞0，h（x）单调递增，

x∈（1，2），h'（x）＞0，h（x）单调递减，

x∈（2，e），h'（x）＞0，h（x）单调递增，

∴h（x）_极大值=h（1）=﹣1，且h（e）=e﹣3﹣2e^﹣1＜﹣1，

所以h（x）_max=h（1）=﹣1．

因为对一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，

∴t≥h（x）_max=﹣1．

故实数t的取值范围为[﹣1，+∞）．