问题 解答题

已知函数f(x)=axlnx图象上点(e,f(e))处的切线方程与直线y=2x平行(其中e=2.71828…),g(x)=x2﹣tx﹣2.

(I)求函数f(x)的解析式;

(II)求函数f(x)在[n,n+2](n>0)上的最小值;

(III)对一切x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,求实数t的取值范围.

答案

 解:(I)由点(e,f(e))处的切线方程与直线2x﹣y=0平行,

得该切线斜率为2,即f'(e)=2.

又∵f'(x)=a(lnx+1),

令a(lne+1)=2,a=1,

所以f(x)=xlnx.

(II)由(I)知f'(x)=lnx+1,

显然f'(x)=0时x=e﹣1

时f'(x)<0,所以函数上单调递减.

时f'(x)>0,所以函数f(x)在上单调递增,

时,

时,函数f(x)在[n,n+2]上单调递增,

因此f(x)min=f(n)=nlnnn;

所以

(III)对一切x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,

又g(x)=x2﹣tx﹣2,

∴3xlnx≥x2﹣tx﹣2,即

由h'(x)=0得x=1或x=2,

∴x∈(0,1),h'(x)>0,h(x)单调递增,

x∈(1,2),h'(x)>0,h(x)单调递减,

x∈(2,e),h'(x)>0,h(x)单调递增,

∴h(x)极大值=h(1)=﹣1,且h(e)=e﹣3﹣2e﹣1<﹣1,

所以h(x)max=h(1)=﹣1.

因为对一切x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,

∴t≥h(x)max=﹣1.

故实数t的取值范围为[﹣1,+∞).

多项选择题
单项选择题 A1/A2型题