已知函数f(x)=axlnx图象上点(e,f(e))处的切线方程与直线y=2x平行(其中e=2.71828…),g(x)=x2﹣tx﹣2.
(I)求函数f(x)的解析式;
(II)求函数f(x)在[n,n+2](n>0)上的最小值;
(III)对一切x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,求实数t的取值范围.
解:(I)由点(e,f(e))处的切线方程与直线2x﹣y=0平行,
得该切线斜率为2,即f'(e)=2.
又∵f'(x)=a(lnx+1),
令a(lne+1)=2,a=1,
所以f(x)=xlnx.
(II)由(I)知f'(x)=lnx+1,
显然f'(x)=0时x=e﹣1
当时f'(x)<0,所以函数
上单调递减.
当时f'(x)>0,所以函数f(x)在
上单调递增,
①时,
;
②时,函数f(x)在[n,n+2]上单调递增,
因此f(x)min=f(n)=nlnnn;
所以
(III)对一切x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,
又g(x)=x2﹣tx﹣2,
∴3xlnx≥x2﹣tx﹣2,即.
设,
则,
由h'(x)=0得x=1或x=2,
∴x∈(0,1),h'(x)>0,h(x)单调递增,
x∈(1,2),h'(x)>0,h(x)单调递减,
x∈(2,e),h'(x)>0,h(x)单调递增,
∴h(x)极大值=h(1)=﹣1,且h(e)=e﹣3﹣2e﹣1<﹣1,
所以h(x)max=h(1)=﹣1.
因为对一切x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,
∴t≥h(x)max=﹣1.
故实数t的取值范围为[﹣1,+∞).