问题 解答题

已知a∈R,函数f(x)=x2|x﹣a|.

(1)当a=2时,求使f(x)=x成立的x的集合;

(2)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值.

答案

解:(Ⅰ)由题意,f(x)=x2|x﹣2|

当x<2时,由f(x)=x2(2﹣x)=x,解得x=0或x=1;

当x≥2时,由f(x)=x2(x﹣2)=x,解得x=1+ .

综上,所求解集为{0,1,1+ }

(Ⅱ)设此最小值为m.

①当a≤1时,在区间[1,2]上,f(x)=x3﹣ax2

∵f′(x)=3x2﹣2ax=3x(x﹣ a)>0,x∈(1,2),

则f(x)是区间[1,2]上的增函数,

∴m=f(1)=1﹣a.

②当1<a≤2时,在区间[1,2]上,f(x)=x2|x﹣a|≥0,由f(a)=0知m=f(a)=0.

③当a>2时,在区间[1,2]上,f(x)=ax2﹣x3f′(x)=2ax﹣3x2=3x( a﹣x).

若a≥3,在区间(1,2)上,f'(x)>0,则f(x)是区间[1,2]上的增函数,

∴m=f(1)=a﹣1.

若2<a<3,则1< a<2.

当1<x< a时,f'(x)>0,则f(x)是区间[1, a]上的增函数,

当 a<x<2时,f'(x)<0,则f(x)是区间[ a,2]上的减函数,

因此当2<a<3时,故m=f(1)=a﹣1或m=f(2)=4(a﹣2).

当2<a≤ 时,4(a﹣2)≤a﹣1,故m=f(2)=4(a﹣2),

 <a<3时,4(a﹣2)<a﹣1,故m=f(1)=a﹣1.

总上所述,所求函数的最小值m= .

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