问题
解答题
设函数f（x）=x3+ax2-a2x+m（a≥0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[﹣2，2]上恒成立，求m的取值范围．
答案
解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x2+2ax﹣a2=
当a=0时f′（x）≥0
∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）
当a＞0时
由f′（x）＞0得x＜﹣a或
，
由f′（x）＜0得
，
∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣a），
，
单调递减区间为
（Ⅱ）当a=0时由（1）知函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增，
则f（x）在[﹣1，1]上没有极值点；
当a＞0时∵
由（1）知f（x）在
上单调递增，在
上单调递减；
则要f（x）在[﹣1，1]上没有极值点，
则只需f′（x）=0在（﹣1，1）上没有实根．
∴
，解得a≥3
综上述可知：a的取值范围为[3，+∞）∪{0}
（Ⅲ）∵a∈[3，6），
∴
≤﹣3
又x∈[﹣2，2]
由（1）的单调性质知f（x）max=max{f（﹣2），f（2）}
而f（2）-f（-2）=16-4a2＜0
f（x）max=f（-2）=-8+4a+2a2+m
∴f（x）≤1在[﹣2，2]上恒成立
∴f（x）max≤1
即-8+4a+2a2+m≤1
即m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，
∴9-4a-2a2的最小值为-87
∴m≤-87
故答案为（Ⅰ）当a=0时f′（x）≥0，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），
当a＞0时函数f（x）的单调递增区间为
，
单调递减区间为
，
（Ⅱ）a的取值范围为：[3，+∞）∪{0}，
（Ⅲ）m的取值范围为：m≤﹣87．