问题
填空题
若在区间[-1,1]上,函数f(x)=x3-ax+1≥0恒成立,则a的取值范围是______.
答案
由x3-ax+1≥0恒成立,得ax≤x3+1,
①当x∈(0,1]时,
即a≤x2+
,x∈(0,1]恒成立,1 x
设F(x)=x2+
,F′(x)=2x-1 x
,令F′(x)=0得x=1 x2
,3 1 2
当x∈(0,
]时F′(x)<0,当x∈(3 1 2
,1]时F′(x)>0,3 1 2
故f(x)在(0,
]单调减,f(x)在(3 1 2
,1]单调增,3 1 2
∴当x=
时,函数f(x) 取得最小值,最小值为3 1 2
;3 3 2 2
∴a≤3 3 2 2
②当x∈[-1,0)时,
即a≥x2+
,x∈[-1,0)恒成立,1 x
设F(x)=x2+
,F′(x)=2x-1 x
,1 x2
当x∈[-1,0)时F′(x)<0,
故f(x)在[-1,0)单调减,
∴当x=-1时,函数f(x) 取得最大值,最大值为0;
∴a≥0;
③当x=0时,函数f(x)=x3-ax+1≥0恒成立
综上所述,a的取值范围是[0,
].3 3 2 2
故答案为:[0,
].3 3 2 2