问题 填空题

若在区间[-1,1]上,函数f(x)=x3-ax+1≥0恒成立,则a的取值范围是______.

答案

由x3-ax+1≥0恒成立,得ax≤x3+1,

①当x∈(0,1]时,

即a≤x2+

1
x
,x∈(0,1]恒成立,

设F(x)=x2+

1
x
,F′(x)=2x-
1
x2
,令F′(x)=0得x=
3
1
2

当x∈(0,

3
1
2
]时F′(x)<0,当x∈(
3
1
2
,1]时F′(x)>0,

故f(x)在(0,

3
1
2
]单调减,f(x)在(
3
1
2
,1]单调增,

∴当x=

3
1
2
时,函数f(x) 取得最小值,最小值为
3
32
2

∴a≤

3
32
2

②当x∈[-1,0)时,

即a≥x2+

1
x
,x∈[-1,0)恒成立,

设F(x)=x2+

1
x
,F′(x)=2x-
1
x2

当x∈[-1,0)时F′(x)<0,

故f(x)在[-1,0)单调减,

∴当x=-1时,函数f(x) 取得最大值,最大值为0;

∴a≥0;

③当x=0时,函数f(x)=x3-ax+1≥0恒成立

综上所述,a的取值范围是[0,

3
32
2
].

故答案为:[0,

3
32
2
].

填空题
单项选择题 A1型题