问题
解答题
已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（4，1），B（3，4），C（-1，2），BD是∠ABC的平分线，求点D的坐标及BD的长．
答案
法一：由A（4，1），B（3，4），C（-1，2），
∴|BC|=2
，|AB|=5
，10
∴D分
所成的比λ=AC
=AD DC
=AB BC
．2 2
由定比分点坐标公式，得xD=
=9-54+
×(-1)2 2 1+ 2 2 2 yD=
=1+ 2 1+ 2 2
.2
∴D点坐标为（9-5
，2
）．2
∴|BD|=
=(9-5
-3)2+(2
-4)22
．104-68 2
法二：设D（x，y），
∵BD是∠ABC的平分线，
∴＜
，BA
＞=＜BD
，BC
＞BD
∴
=
•BA BD |
||BA
|BD
，
•BC BD |
|•|BC
|BD
即
=
•BA BD |
|BA
•BC BD |
|BC
又
=（1，-3），BA
=（x-3，y-4），BD
=（-4，-2）BC
∴
=x-3-3y+12 10 -4x+12-2y+8 20
∴（4+
）x+（2-32
）y+92
-20=0．①2
又A、D、C三点共线，∴
，AD
共线AC
又
=（x-4，y-1），AD
=（x+1，y-2）AC
∴（x-4）（y-2）=（x+1）（y-1）．②
由①②可解得x=9-5 2 y=
.2
∴D点坐标为（9-5
，2
），|BD|=2 104-68 2