解：（1）当a=1时，f（x）=x|x²﹣1|．

∵x∈[﹣1，1]，

∴f（x）=﹣x3+x，则f′（x）=﹣3x²+1=﹣3（x﹣）（x+），

令f′（x）=0，得x=，x=-，

∵[﹣1，1]，

f（﹣1）=1﹣1=0，

f（﹣）=﹣（﹣）³﹣=，

f（）=，

f（1）=﹣1+1=0，

∴函数f（x）在x∈[﹣1，1]上的最小值为，最大值为．

（2）（i）当a=0时，f（x）=x³，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）．

（ii）当a＜0时，f（x）=x²﹣ax，

∵f′（x）=3x²﹣a＞0恒成立，

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，

∴f（x）的增区间为（﹣∞，+∞）．

（iii）当a＞0时，①当或时，f（x）=x³﹣ax，

因为f′（x）=3x²﹣a=3（x+）（x﹣），﹣，，

所以，当或时，f′（x）＞0，

从而f（x）的单调减区间为及．

②当﹣ 时，f（x）=﹣x³+ax， f′（x）=﹣3x²+a=﹣3 ，

令f′（x）=0，得 ，x=﹣ ，列表，得  

综上所述，当a≤0时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为 及 ， f（x）的单调减区间为 ．