问题
解答题
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象经过原点，f′（1）=0，
曲线y=f（x）在原点处的切线到直线y=2x+3的角为135°．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于任意实数α和β，不等式|f（2sinα）﹣f（2sinβ）|≤m恒成立，求m的最小值．
答案
解：（1）由题意有f（0）=c=0，f'（x）=3x2+2ax+b
且f′（1）=3+2a+b=0
又曲线y=f（x）在原点处的切线的斜率k=f′（0）=b，
而直线y=2x+3到此切线所成的角为135°，
所以
②
联立①②解得a=0，b=﹣3
∴f（x）=x3﹣3x
（2）|f（2sinα）﹣f（2sinβ）|≤m恒成立
等价于|f（x）max﹣f（x）min|≤m
由于2sinα∈[﹣2，2]，2sinβ∈[﹣2，2]，
故只需求出f（x）=x3﹣3x在[﹣2，2]上的最值，
而f′（x）=3x2﹣3，
由f′（x）=0得x=±1
列表如下：
∴f（x）max=2，f（x）min=﹣2
∴f（x）max﹣f（x）min|=4≤m
∴m的最小值为4