解  （1）由题设条件，M=

cos45° -sin45° sin45° cos45°

=

2 2 - 2 2 2 2 2 2

，

T_M：

x   y

→

x′   y′

=

2 2 - 2 2 2 2 2 2

x   y

=

2 2 x - 2 2 2 x 2 + 2 2

，即有

x′= 2 2 x- 2 2 y y′= 2 2 x+ 2 2 y

，

解得

x= 2 2 (x′+y′) y= 2 2 (y′-x′)

，代入曲线C的方程为y′²-x′²=2．

所以将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，得到的曲线是y²-x²=2．…（5分）

（2）由（1）知，只须把曲线y²-x²=2的焦点、渐近线绕坐标原点顺时针旋转45°后，即可得到曲线C的焦点坐标和渐近线方程．

曲线y²-x²=2的焦点坐标是（0，-2），（0，2），渐近线方程x±y=0，

变换矩阵N=

cos(-45°) -sin(-45°) sin(-45°) cos(-45°)

=

2 2 2 2 - 2 2 2 2

，

2 2 2 2 - 2 2 2 2

0   -2

=

- 2   - 2

，

2 2 2 2 - 2 2 2 2

0   2

=

2   2

，

即曲线C的焦点坐标是（-

2

，-

2

），（

2

，

2

）．而把直线x±y=0要原点顺时针旋转45°恰为y轴与x轴，因此曲线C的渐近线方程为x=0和y=0．…（10分）