定义在定义域D内的函数y=f（x），若对任意的x1、x2∈D都有|f（x1）-f

问题解答题

定义在定义域D内的函数y=f（x），若对任意的x₁、x₂∈D都有|f（x₁）-f（x₂）|＜1，则称函数y=f（x）为“妈祖函数”，否则称“非妈祖函数”．试问函数f（x）=x³-x+α（x∈[-1，1]，α∈R）是否为“妈祖函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由．

答案

因为|f（x₁）-f（x₂）|＜|f_max-f_min|，

函数f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]导数是f′（x）=3x²-1

当3x²-1=0时，即x=±

，当0＜x＜

时，f′（x）=3x²-1＜0，当x＞

时，

f′（x）=3x²-1＞0，故f（x）在x∈[0，1]内的极小值是a-

，同理，

f（x）在[-1，0]内的极大值是a+

，因为f（1）=f（-1）=a，

所以函数f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]的最大值是a+

，最小值是a-

，

故|f（x₁）-f（x₂）|＜|f_max-f_min|=

＜1

所以函数f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]是“妈祖函数”．（2分）