解：（1）当p=1时，f（x）≤λx恒成立，等价于1+lnx≤kx，

∴，f（x）的定义域为（0，+∞）

令，则λ≥h（x）_max，

因为，由h'（x）=0得x=1，

且当x∈（0，1）时，h'（x）＞0；

当x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0．所以h（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减．

所以h（x）_max=h（1）=1，

故λ≥1；

（2）f（x）的定义域为（0，+∞），

当p＞1时，f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调递增；

当0＜p＜1时，令f'（x）=0，解得．

则当时，f'（x）＞0；，f'（x）＜0；

f（x）在单调递增，在单调递减．