（Ⅰ）证明：求导函数f′（x）=6x（ax﹣1）．

因为a＞0且x＜0，

所以f′（x）＞0．

所以函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数．                  

（Ⅱ）解：由题意，g（x）=2ax³+（6a﹣3）x²﹣6x，（x∈[0，1]），

则g′（x）=6[ax²+（2a﹣1）x﹣1]．

令g′（x）=0，即ax²+（2a﹣1）x﹣1=0．①

由于△=4a²+1＞0，可设方程①的两个根为x₁，x₂，

由①得x₁x₂=﹣，

由于a＞0，所以x₁x₂＜0，

不妨设x₁＜0＜x₂，g′（x）=6a（x﹣x₁）（x﹣x₂）．

当0＜x₂＜1时，g（x₂）为极小值，所以在区间[0，1]上，g（x）在x=0或x=1处取得最大值；当x₂≥1时，由于g（x）在区间[0，1]上是单调递减函数，所以最大值为g（0），

综上，函数g（x）只能在x=0或x=1处取得最大值．      

又已知g（x）在x=0处取得最大值，

所以g（0）≥g（1），即0≥8a﹣9，解得a≤，

又因为a＞0，

所以a∈（0，]．