问题
解答题
函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）上以点P（1，f（1））为切点的切线方程为y=3x+1．
（1）若y=f（x）在x=-2时有极值，求f （x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，求y=f（x）在[-3，1]上最大值．
答案
（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c求导数得f'（x）=3x2+2ax+b
过y=f（x）上点P（1，f（1））的切线方程为：y-f（1）=f'（1）（x-1）即y-（a+b+c+1）=（3+2a+b）（x-1）
故
即3+2a+b=3 a+b+c-2=1 2a+b=0(1) a+b+c=3(2)
∵有y=f（x）在x=-2时有极值，故f′（-2）=0
∴-4a+b=-12…（3）
由（1）（2）（3）相联立解得a=2，b=-4，c=5
f（x）=x3+2x2-4x+5．
（2）f'（x）=3x2+2ax+b=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2）
f（x）极大=f（-2）=（-2）3+2（-2）2-4（-2）+5=13f（1）=13+2×1-4×1+5=4
∴f（x）在[-3，1]上最大值为13．