问题
解答题
设函数f（x）=ax3+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣6y﹣7=0垂直，导函数f'（x）的最小值为﹣12．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值和最小值．
答案
解：（Ⅰ）∵f（x）为奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x）即﹣ax3﹣bx+c=﹣ax3﹣bx﹣c
∴c=0
∵f'（x）=3ax2+b的最小值为﹣12
∴b=﹣12
又直线x﹣6y﹣7=0的斜率为
因此，f'（1）=3a+b=﹣6
∴a=2，b=﹣12，c=0．
（Ⅱ）f（x）=2x3﹣12x．
，
列表如下：
所以函数f（x）的单调增区间是
和
∵f（﹣1）=10，
，f（3）=18
∴f（x）在[﹣1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是
．