问题
解答题
已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx。
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；
（2）当a=3，b=-9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围。
答案
解：（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则f'（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则f'（x）=3x2+b，k2=3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：a=3，b=3。
（2）当a=3，b=-9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2-9x+1
则h′（x）=3x2+6x-9，令h'（x）=0，解得：x1=-3，x2=1；
∴k≤-3时，
函数h（x）在（-∞，-3）上单调增，在（-3，2]上单调减，所以在区间[k，2]上的最大值为h（-3）=28 -3＜k＜2时，
函数h（x）在在区间[k，2]上的最大值小于28
所以k的取值范围是（-∞，-3] 。
