已知F（x）=∫x0(t2+2t-8)dt，（x＞0）．（1）求F（x）的单调区

问题解答题

已知F（x）=

∫

(t2+2t-8)dt，（x＞0）．
（1）求F（x）的单调区间；
（2）求函数F（x）在[1，3]上的最值．

答案

依题意得，F(x)=

∫

(t2+2t-8)dt=(

t3+t2-8t)

x3+x2-8x，

定义域是（0，+∞）．（2分）

（1）F'（x）=x²+2x-8，

令F'（x）＞0，得x＞2或x＜-4；令F'（x）＜0，得-4＜x＜2，

且函数定义域是（0，+∞），

∴函数F（x）的单调增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．（6分）

（2）令F'（x）=0，得x=2（x=-4舍），

由于函数在区间（0，2）上为减函数，区间（2，3）上为增函数，

且F(1)=-

，F(2)=-

，F（3）=-6，

∴F（x）在[1，3]上的最大值是F（3）=-6，最小值是F(2)=-

．（10分）