选修4-2矩阵与变换已知矩阵M=122x的一个特征值为3，求另一个特征

问题解答题

选修4-2 矩阵与变换
已知矩阵M=

1	2
2	x

的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．

答案

矩阵M的特征多项式为

f（λ）=

λ-1	-2
-2	λ-x

=（λ-1）（λ-x）-4．

∵λ₁=3方程f（λ）=0的一根，

∴（3-1）（3-x）-4=0，可得x=1，M=

1	2
2	1

．

∴方程f（λ）=0即（λ-1）（λ-1）-4=0，λ²-2λ-3=0

可得另一个特征值为：λ₂=-1，

设λ₂=-1对应的一个特征向量为α=

x
y

，

则由λ₂α=Mα，得

-2x-2y=0

得x=-y，可令x=1，则y=-1，

所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为α=

1
-1

．