问题
解答题
定义函数fn（x）=（1+x）n﹣1，x＞﹣2，x∈N*．
（1）求证：fn（x）≥nx；
（2）是否存在区间[a，0]（a＜0），使函数h（x）=f3（x）﹣f2（x）在区间[a，0]上的值域为[ka，0]，若存在，求出最小的k值及相应的区间[a，0]，若不存在，说明理由．
答案
（1）证明：令g（x）=fn（x）﹣nx=（1+x）n﹣1﹣nx．
则g'（x）=n（x+1）n﹣1﹣n=n[（x+1）n﹣1﹣1]，
∴当﹣2＜x＜0时，g'（x）＜0；
当x＞0时g'（x）＞0．
∴g（x）在（﹣2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
∴当x=0时，g（x）min=g（0）=0，即g（x）≥g（x）min=g（0）=0，
∴fn（x）≥nx；
（2）解：h（x）=f3（x）﹣f2（x）=x（1+x）2，x∈[a，0]（a＜0），
∴h'（x）=（1+x）2+2x（1+x）=（1+x）（1+3x），
令h'（x）=0，得x=﹣1或
∵h（﹣1）=h（0）=0，h（
）=h（
）=﹣
∴若
，则函数在[a，0]上单调增，
∴h（a）=ka，h（0）=0，
∴a（1+a）2=ka，
∴k=（1+a）2∈（
）；
若
，则h（
）=ka，h（0）=0，
∴k=﹣
∈
；
若
，则h（a）=ka，h（0）=0，
∴a（1+a）2=ka，
∴k=（1+a）2∈（
，+∞）
综上知，k∈[
，+∞）
∴最小的k值为
，相应的区间为[
，0]
