问题
解答题
已知函数f（x）=x3﹣ax2+bx+c的图象为曲线C．
（1）若曲线C上存在点P，使曲线C在P点处的切线与x轴平行，求a，b的关系；
（2）若函数f（x）可以在x=﹣1和x=3时取得极值，求此时a，b的值；
（3）在满足（2）的条件下，f（x）＜2c在x∈[﹣2，6]恒成立，求c的取值范围．
答案
解：（1）f'（x）=3x2﹣2ax+b，设切点为P（x0，y0），
则曲线y=f（x）在点P的切线的斜率k=f'（x0）=3x02﹣2ax0+b
由题意知f'（x0）=3x02﹣2ax0+b=0有解，
∴△=4a2﹣12b≥0，即a2≥3b．
（2）若函数f（x）可以在x=﹣1和x=3处取得极值，
则f'（x）=3x2﹣2ax+b有两个解x=﹣1和x=3，且满足a2≥3b，
利用韦达定理得a=3，b=﹣9．
（3）由（2）得f（x）=x3﹣3x2﹣9x+c根据题意，
c＞x3﹣3x2﹣9x（x∈[﹣2，6]）恒成立，
令函数g（x）=x3﹣3x2﹣9x（x∈[﹣2，6]），
由g′（x）=3x2﹣6x﹣9，
令g′（x）=0得出x=﹣1或3，
当x∈[﹣2，﹣1）时，g′（x）＞0，g（x）在x∈[﹣2，﹣1）上单调递增，
当x∈（﹣1，3）时，g′（x）＜0，g（x）在x∈（﹣1，3）上单调递减，
当x∈（﹣1，6）时，g′（x）＞0，g（x）在x∈（﹣1，6）上单调递增，
因此，g（x）在x=﹣1时有极大值5，且g（6）=54，g（﹣2）=﹣2．
∴函数g（x）=x3﹣3x2﹣9x（x∈[﹣2，6]）的最大值为54，所以c＞54．