∵

a

=(

3

，-1)，

b

=(sinx，cosx)

∴f（x）=

a

•

b

=

3

sinx-cosx=2sin(x-

π

6

)

（1）当sin(x-

π

6

) =1

即x-

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=2kπ+

2π

3

(k∈Z)时，f（x）取得最大值

此时

b

=(

3

2

，-

1

2

)

∴cos＜

a

，

b

＞  =

a • b

| a | | b |

=

3 2 + 1 2

2×1

=1

∴＜

a

，

b

＞  =0

（2）由f（x）≥1，得sin(x-

π

6

) ≥

1

2

∴2kπ+

π

6

≤x-

π

6

≤ 2kπ+

5π

6

 (k∈Z)

∴2kπ+

π

3

≤x≤ 2kπ+π   (k∈Z)

∴A={x|2kπ+

π

3

≤x≤2kπ+π，k∈Z}

又B={x|-π≤x≤π}

∴A∩B=[

π

3

，π]

证明：（3）∵x∈{A，B，C}，且A，B，C是某个锐角三角形的三个内角，且A+B+C=π

设A、B、C中的最小角x₀∈{A，B，C}

∴0＜x0＜

π

3

∴-

π

6

＜x0-

π

6

≤ 

π

6

∴f(x0) =2sin(x0-

π

6

)  ≤2×

1

2

=1

∴存在x₀∈{A，B，C}，使得f（x₀）≤1