问题
解答题
已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1=
（1）求矩阵M； （2）求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系． （3）求直线l：x-y+1=0在矩阵M的作用下的直线l′的方程． |
答案
（1）设M=
，则a b c d a b c d
=81 1
=1 1
，8 8
故a+b=8 c+d=8. a b c d
=-1 2
，-2 4
故-a+2b=-2 -c+2d=4.
联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，
故M=
．6 2 4 4
（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ2-10λ+16，
故其另一个特征值为λ=2．
设矩阵M的另一个特征向量是e2=
，x y
则M e2=
=26x+2y 4x+4y
，x y
解得2x+y=0．
（3）设点（x，y）是直线l上的任一点，
其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为（x′，y′），
则6 2 4 4
=x y
，x′ y′
即x=
x′-1 4
y′，y=-1 8
x′+1 4
y′，3 8
代入直线l的方程后并化简得x′-y′+2=0，
即x-y+2=0．