问题
解答题
已知函数f（x）=
（I）若 P=[l，3]，M=（-∞，-2]，求f（P）∪f（M）； （II）若P∩M=φ，a函数f（x）是定义在R上的单调递增函数，求集合P，M （III）判断命题“若P∪M≠R，则．f（P）∪f（M）≠R”的真假，并说明理由． |
答案
（I）∵P=[1，3]，M=（-∞，-2）
∴f（P）=[1，3]，f（M）=[2，+∞）
∴f（P）∪f（M）=[1，+∞）（3分）
（II）因为函数f（x）是R上的增函数，且f（0）=0
所以当x＜0时，f（x）＜0，所以（-∞，0）⊆P
同理可知，（0，+∞）⊆P
因为P∩M=∅
所以P={x|x≠0}．M={0}（6分）
（III）原命题为真命题，理由如下：（8分）
假设存在P，M且P∪M≠R，则有f（P）∪f（M）=R
因为P∪M≠R
若0∉P∪M
则0∉f（P）∪f（M）
∴f（P）∪f（M）≠R与f（P）∪f（M）=R矛盾
若存在x0∉P∪M且则x0∉P∪M且x0≠0，则x0∉f（P），-x0∉f（M）
因为f（p）∪f（M）=R
所以-x0∈f（P），x0∈f（M）
所以-x0∈P，-x0∈M
由函数的定义可得，-x0=x0即x0=0与x0≠0矛盾
所以命题“若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R为真命题（14分）