问题
解答题
| 已知函数f（x）=lnx． （1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值； （2）当0＜a＜b时，求证f(b)-f(a)＞
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答案
（1）∵f（x）=lnx，g（x）=f（x+1）-x
∴g（x）=ln（x+1）-x（x＞-1），∴g′(x)=
-11 x+1
令g′（x）=0，得x=0
当-1＜x＜0时，g′（x）＞0，当x＞0时，g′（x）＜0，又g（0）=0
∴当且仅当x=0时，g（x）取得最大值0 （6分）
（2）证明：f(a)-f(b)=lnb-lna=ln
=-lnb a
=-ln(1+a b
)a-b b
由（1）知ln(1+x)≤x，f(b)-f(a)≥-
=a-b b b-a b
又∵0＜a＜b，∴a2+b2＞2ab，∴
＞1 b 2a a2+b2
∴
＞b-a b 2a(b-a) a2+b2
∴f(b)-f(a)＞
（12分）2a(b-a) a2+b2