（I）因为h(x)=

1

2

x2-2x+logax(x＞0)．

所以h′(x)=x-2+

1

xlna

．

因为h（x）在（0，+∞）上是增函数．

所以x-2+

1

xlna

≥0在(0，+∞)上恒成立     …（1分）

当x＞0时，x-2+

1

xlna

≥0⇔x2-2x≥-

1

lna

．

而x²-2x=（x-1）²-1在（0，+∞）上的最小值是-1．

于是-1≥-

1

lna

，即1≤

1

lna

．（※）

可见a＞1(若0＜a＜1，则

1

lna

＜0．这与

1

lna

≥1矛盾)

从而由（※）式即得lna≤1．①…..…（4分）

同时，h′(x)=x-2+

1

xlna

=

x2lna-2xlna+1

xlna

(x＞0)

由h′(x)存在(正)零点知△=(-2lna

)

2

-4lna≥0，

解得lna≥1②，或lna≤0（因为a＞1，lna＞0，这是不可能的）．

由①②得 lna=1．

此时，h'（x）存在正零点x=1，故a=e即为所求   …（6分）

注：没有提到（验证）lna=1时，h'（x）存在正零点x=1，不扣分．

（II）由（I），g(x)=lnx，g′(x0)=

1

x0

，

于是

1

x0

=

g(n)-g(m)

n-m

，x0=

n-m

lnn-lnm

．…（7分）

以下证明m＜

n-m

lnn-lnm

．（☆）

（☆）等价于mlnn-mlnm-n+m＜0．…（8分）

构造函数r（x）=xlnn-xlnx-n+x（0＜x≤n），

则r'（x）=lnn-lnx，当x∈（0，n）时，r'（x）＞0，所以r（x）在（0，n]上为增函数．

因此当m＜n时，r（m）＜r（n）=0，即mlnn-mlnm-n+m＜0．

从而x₀＞m得到证明．    …（11分）

同理可证n＞

n-m

lnn-lnm

．综上，m＜x0＜n．…（12分）

注：没有“综上”等字眼的结论，扣（1分）．