问题
解答题
| 已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx． （Ⅰ）求函数f（x）的最大值； （Ⅱ）设0＜a＜b，证明0＜g（a）+g（b）-2g（
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答案
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．
f′(x)=
-1．令f′（x）=0，解得x=0．1 1+x
当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．又f（0）=0，
故当且仅当x=0时，f（x）取得最大值，最大值为0．
（Ⅱ）证明：g(a)+g(b)-2g(
)=alna+blnb-(a+b)lna+b 2 a+b 2
=aln
+bln2a a+b
．2b a+b
由（Ⅰ）结论知ln（1+x）-x＜0（x＞-1，且x≠0），
由题设0＜a＜b，得
＞0，-1＜b-a 2a
＜0，a-b 2b
因此ln
=-ln(1+2b a+b
)＞-b-a 2a
，b-a 2a
ln
=-ln(1+2b a+b
)＞-a-b 2b
，a-b 2b
所以aln
+bln2a a+b
＞-2b a+b
-b-a 2
=0．a-b 2
又
＜2a a+b
，a+b 2b
aln
+bln2a a+b
＜aln2b a+b
+blna+b 2b
．=（b-a）ln2b a+b
＜（b-a）ln22b a+b
综上0＜g(a)+g(b)-2g(
)＜(b-a)ln2．a+b 2