问题 问答题

两块足够大的平行金属板水平放置,极板间加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场,变化规律分别如图1、图2所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向).在t=0时刻由负极板释放一个初速度为零的带负电的粒子(不计重力).若电场强度E0、磁感应强度B0、粒子的比荷q/m均已知,且t0=

2πm
qB0
,两板间距h=
10π2mE0
q
B20

(1)求粒子在0~t0时间内的位移大小与极板间距h的比值.

(2)求粒子在两极板间做圆周运动的最大半径(用h表示).

(3)若板间电场强度E随时间的变化仍如图1所示,磁场的变化改为如图3所示,试画出粒子在板间运动的轨迹图(不必写计算过程).

答案

解法一:

(1)设粒子在0~t0时间内的位移大小为s1,由运动学公式和你对第二定律有:

s1=

1
2
a
t20
a=
qE0
m

又已知t0=

2πm
qB0
h=
10π2mE0
q
B20

联立以上两式解得:

s1
h
=
1
5

(2)粒子在t0~2t0时间内只受洛伦兹力作用,且速度与磁场方向垂直,所以粒子做匀速圆周运动.设运动速度大小为v1,轨道半径为R1,周期为T,则有:

v1=at0qv1B0=

m
v21
R1

联立以上两式得R1=

h

T=

2πm
qB0
,即粒子在t0~2t0时间内恰好完成一个周期的圆周运动.在2t0~3t0时间内,粒子做初速度为v1的匀加速直线运动,设位移为s2,则有:

s2=v1t0+

1
2
a
t20

解得:s2=

3
5
h

由于s1+s2<h,所以粒子在3t0~4t0时间内继续做匀速圆周运动,设速度大小为v2,半径为R2,则有:

v2=v1+at0qv2B0=

m
v22
R2

解得:R2=

2h

由于s1+s2+R2<h,粒子恰好又能完成一个周期的圆周运动.

在4t0~5t0时间内,粒子运动到正极板(如图1所示).因此粒子的最大半径为:

R2=

2h

(3)粒子在板间运动的轨迹如图2所示.

解法二:

由题意可知,电磁场的周期为2t0,前半周期粒子受电场作用做匀加速直线运动,加速度大小为:

a=

qE0
m
,方向向上.

后半周期粒子受磁场作用多匀速圆周运动,周期为T,则有:

T=

2πm
qB0
=t0

粒子恰好完成一次匀速圆周运动.至第n个周期末,粒子位移大小为sn,有:

sn=

1
2
a(nt0)2

又已知sn=

n
h

粒子速度大小为vn=ant0,粒子做圆周运动的半径为:

Rn=

mvn
qB0

解得:Rn=

nh
,显然s2+h<h<s3

所以有:(1)粒子在0~t0时间内的位移大小与极板间距h的比值为

s1
h
=
1
5

(2)粒子在两极板间做圆周运动的最大半径R2=

2h

(3)粒子在板间运动的轨迹图见解法一中的图2.

答:(1)粒子在0~t0时间内的位移大小与极板间距h的比值为

s1
h
=
1
5

(2)粒子在两极板间做圆周运动的最大半径R2=

2h

(3)粒子在板间运动的轨迹图为图2.

多项选择题
单项选择题