两块足够大的平行金属板水平放置,极板间加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场,变化规律分别如图1、图2所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向).在t=0时刻由负极板释放一个初速度为零的带负电的粒子(不计重力).若电场强度E0、磁感应强度B0、粒子的比荷q/m均已知,且t0=
,两板间距h=2πm qB0
.10π2mE0 q B 20
(1)求粒子在0~t0时间内的位移大小与极板间距h的比值.
(2)求粒子在两极板间做圆周运动的最大半径(用h表示).
(3)若板间电场强度E随时间的变化仍如图1所示,磁场的变化改为如图3所示,试画出粒子在板间运动的轨迹图(不必写计算过程).
解法一:
(1)设粒子在0~t0时间内的位移大小为s1,由运动学公式和你对第二定律有:
s1=
a1 2
,a=t 20 qE0 m
又已知t0=
,h=2πm qB0 10π2mE0 q B 20
联立以上两式解得:
=s1 h
.1 5
(2)粒子在t0~2t0时间内只受洛伦兹力作用,且速度与磁场方向垂直,所以粒子做匀速圆周运动.设运动速度大小为v1,轨道半径为R1,周期为T,则有:
v1=at0,qv1B0=m v 21 R1
联立以上两式得R1=h 5π
又T=
,即粒子在t0~2t0时间内恰好完成一个周期的圆周运动.在2t0~3t0时间内,粒子做初速度为v1的匀加速直线运动,设位移为s2,则有:2πm qB0
s2=v1t0+
a1 2 t 20
解得:s2=
h3 5
由于s1+s2<h,所以粒子在3t0~4t0时间内继续做匀速圆周运动,设速度大小为v2,半径为R2,则有:
v2=v1+at0,qv2B0=m v 22 R2
解得:R2=2h 5π
由于s1+s2+R2<h,粒子恰好又能完成一个周期的圆周运动.
在4t0~5t0时间内,粒子运动到正极板(如图1所示).因此粒子的最大半径为:
R2=
.2h 5π
(3)粒子在板间运动的轨迹如图2所示.
解法二:
由题意可知,电磁场的周期为2t0,前半周期粒子受电场作用做匀加速直线运动,加速度大小为:
a=
,方向向上.qE0 m
后半周期粒子受磁场作用多匀速圆周运动,周期为T,则有:
T=
=t02πm qB0
粒子恰好完成一次匀速圆周运动.至第n个周期末,粒子位移大小为sn,有:
sn=
a(nt0)21 2
又已知sn=
hn 5π
粒子速度大小为vn=ant0,粒子做圆周运动的半径为:
Rn=
,mvn qB0
解得:Rn=
,显然s2+h<h<s3nh 5π
所以有:(1)粒子在0~t0时间内的位移大小与极板间距h的比值为
=s1 h 1 5
(2)粒子在两极板间做圆周运动的最大半径R2=2h 5π
(3)粒子在板间运动的轨迹图见解法一中的图2.
答:(1)粒子在0~t0时间内的位移大小与极板间距h的比值为
=s1 h 1 5
(2)粒子在两极板间做圆周运动的最大半径R2=2h 5π
(3)粒子在板间运动的轨迹图为图2.