由函数f(x)=

mx

1+|x|

(x∈R) 可得f（-x）=

m(-x)

1+|-x|

=-

mx

1+|x|

=-f（x），故函数f（x）是奇函数．

题意可得，当-1≤x≤1时，函数的值域为[-1，1]．

①若x∈[0，1]，且m＞0，由 f（x）=

mx

1+x

=m-

m

1+x

，故函数在[0，1]上是增函数，故函数f（x）在区间M=[-1，1]上是增函数，

故有f（-1）=-1，f（1）=1，即

-m

2

=-1，

m

2

=1，解得 m=2．

②若x∈[0，1]，且m＜0，由 f（x）=

mx

1+x

=m-

m

1+x

，故函数在[0，1]上是减函数，故函数f（x）在区间M=[-1，1]上是减函数，

故有f（-1）=1，f（1）=-1，即

-m

2

=1，

m

2

=-1，解得 m=-2．

③显然，m=0不满足条件．

综上可得，m=±2，故使M=N成立的实数m的个数为2，

故选B．