问题
解答题
烟囱向其周围散落烟尘造成环境污染．已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比．现有A，B两座烟囱相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点C，使该点的烟尘浓度最低．
答案
不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出的烟尘量为8，
由AC=x（0＜x＜20），可得BC=20-x． …（2分）
C处的烟尘浓度y的函数表达式为y=
+k x2
（0＜x＜20）．…（4分）k•8 (20-x)2
求导得y′=-
+2k x3
=16k (20-x) 3
…（8分）2k(9x3-60x2+1200x-8000) x3(20-x)3
令y′=0，得（3x-20）（3x2+400）=0，
∵0＜x＜20，
∴x=
…（11分）20 3
∵当x∈（0，
）时y′＜0，当x∈（ 20 3
，20）时y′＞0，20 3
∴当x=
时，y有最小值． …（12分）20 3
故存在点C，当AC=
km时，该点的烟尘浓度最低．…（13分）20 3
